Категория: Бланки/Образцы
Схема Горнера – способ деления многочлена
на бином $x-a$. Работать придётся с таблицей, первая строка которой содержит коэффициенты заданного многочлена. Первым элементом второй строки будет число $a$, взятое из бинома $x-a$:
После деления многочлена n-ой степени на бином $x-a$, получим многочлен, степень которого на единицу меньше исходного, т.е. равна $n-1$. Непосредственное применение схемы Горнера проще всего показать на примерах.
Разделить $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$, используя схему Горнера.
Составим таблицу из двух строк: в первой строке запишем коэффициенты многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$, расположенные по убыванию степеней переменной $x$. Заметьте, что данный многочлен не содержит $x$ в первой степени, т.е. коэффициент перед $x$ в первой степени равен 0. Так как мы делим на $x-1$, то во второй строке запишем единицу:
Начнем заполнять пустые ячейки во второй строке. Во вторую ячейку второй строки запишем число $5$, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки:
Следующую ячейку заполним по такому принципу: $1\cdot 5+5=10$:
Аналогично заполним и четвертую ячейку второй строки: $1\cdot 10+1=11$:
Для пятой ячейки получим: $1\cdot 11+0=11$:
И, наконец, для последней, шестой ячейки, имеем: $1\cdot 11+(-11)=0$:
Задача решена, осталось только записать ответ:
Как видите, числа, расположенные во второй строке (между единицей и нулём), есть коэффициенты многочлена, полученного после деления $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. Естественно, что так как степень исходного многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ равнялась четырём, то степень полученного многочлена $5x^3+10x^2+11x+11$ на единицу меньше, т.е. равна трём. Последнее число во второй строке (ноль) означает остачу от деления многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ на $x-1$. В нашем случае остача равна нулю, т.е. многочлены делятся нацело. Этот результат ещё можно охарактеризовать так: значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю.
Можно сформулировать вывод и в такой форме: так как значение многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$ при $x=1$ равно нулю, то единица является корнем многочлена $5x^4+5x^3+x^2-11$.
Разделить многочлен $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ по схеме Горнера.
Сразу оговорим, что выражение $x+3$ нужно представить в форме $x-(-3)$. В схеме Горнера будет учавствовать именно $-3$. Так как степень исходного многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ равна четырём, то в результате деления получим многочлен третьей степени:
Полученный результат означает, что
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(x+3)(x^3+0\cdot x^2 +4x-17)+4=(x+3)(x^3+4x-17)+4$$
В этой ситуации остача от деления $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ на $x+3$ равна $4$. Или, что то самое, значение многочлена $x^4+3x^3+4x^2-5x-47$ при $x=-3$ равно $4$. Кстати, это несложно перепроверить непосредственной подстановкой $x=-3$ в заданный многочлен:
$$x^4+3x^3+4x^2-5x-47=(-3)^4+3 \cdot (-3)^3-5 \cdot (-3)-47=4.$$
Т.е. схему Горнера можно использовать, если необходимо найти значение многочлена при заданном значении переменной. Если наша цель – найти все корни многочлена, то схему Горнера можно применять несколько раз подряд, – до тех пор, пока мы не исчерпаем все корни, как рассмотрено в примере №3.
Найти все целочисленные корни многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$, используя схему Горнера.
Коэффициенты рассматриваемого многочлена есть целые числа, а коэффициент перед старшей степенью переменной (т.е. перед $x^6$) равен единице. В этом случае целочисленные корни многочлена нужно искать среди делителей свободного члена, т.е. среди делителей числа 45. Для заданного многочлена такими корнями могут быть числа $45; \; 15; \; 9; \; 5; \; 3; \; 1$ и $-45; \; -15; \; -9; \; -5; \; -3; \; -1$. Проверим, к примеру, число $1$:
Как видите, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=1$ равно $192$ (последнее число в второй строке), а не $0$, посему единица не является корнем данного многочлена. Так как проверка для единицы окончилась неудачей, проверим значение $x=-1$. Новую таблицу для этого составлять не будем, а продолжим использование табл. №1, дописав в нее новую (третью) строку. Вторую строку, в которой проверялось значение $1$, выделим красным цветом и в дальнейших рассуждениях использовать её не будем.
Можно, конечно, просто переписать таблицу заново, но при заполнении вручную это займет немало времени. Тем более, что чисел, проверка которых окончится неудачей, может быть несколько, и каждый раз записывать новую таблицу затруднительно. При вычислении «на бумаге» красные строки можно просто вычёркивать.
Итак, значение многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ при $x=-1$ равно нулю, т.е. число $-1$ есть корень этого многочлена. После деления многочлена $x^6+2x^5-21x^4-20x^3+71x^2+114x+45$ на бином $x-(-1)=x+1$ получим многочлен $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$, коэффициенты которого взяты из третьей строки табл. №2 (см. пример №1). Результат вычислений можно также представить в такой форме:
Продолжим поиск целочисленных корней. Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Опять-таки, целочисленные корни этого многочлена ищут среди делителей его свободного члена, – числа $45$. Попробуем ещё раз проверить число $-1$. Новую таблицу составлять не будем, а продолжим использование предыдущей табл. №2, т.е. допишем в нее еще одну строку:
Итак, число $-1$ является корнем многочлена $x^5+x^4-22x^3+2x^2+69x+45$. Этот результат можно записать так:
Учитывая равенство (2), равенство (1) можно переписать в такой форме:
Теперь уже нужно искать корни многочлена $x^4-22x^2+24x+45$, – естественно, среди делителей его свободного члена (числа $45$). Проверим еще раз число $-1$:
Число $-1$ является корнем многочлена $x^4-22x^2+24x+45$. Этот результат можно записать так:
С учетом равенства (4), равенство (3) перепишем в такой форме:
Теперь ищем корни многочлена $x^3-x^2-21x+45$. Проверим еще раз число $-1$:
Проверка окончилась неудачей. Выделим шестую строку красным цветом и попробуем проверить иное число, например, число $3$:
В остаче ноль, посему число $3$ – корень рассматриваемого многочлена. Итак, $x^3-x^2-21x+45=(x-3)(x^2+2x-15)$. Теперь равенство (5) можно переписать так:
Проверим ещё раз число $3$:
Полученный результат можно записать так (это продолжение равенства (6)):
Из последней скобки видно, что число $-5$ также является корнем данного многочлена. Можно, конечно, формально продолжить схему Горнера, проверив значение $x=-5$, но необходимости в этом нет. Итак,
Числа $-1; \; 3; \; 5$ – корни данного многочлена. Причем, так как скобка $(x+1)$ в третьей степени, то $-1$ – корень третьего порядка; так как скобка $(x-3)$ во второй степени, то $3$ – корень второго порядка; так как скобка $(x+5)$ в первой степени, то $x=-5$ – корень первого порядка (простой корень).
Вообще, обычно оформление таких примеров состоит из таблицы, в которой перебираются возможные варианты корней, и ответа:
Из таблицы следует вывод, полученный нами ранее с подробным решением:
Убедиться, что числа $2$ и $-5$ являются корнями многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$. Разделить заданный многочлен на биномы $x-2$ и $x+5$.
Степень многочлена $3x^6+9x^5-28x^4+6x^3-30x^2-30x+100$ равна $6$. После деления на два заданных бинома степень заданного многочлена уменьшится на $2$, т.е. станет равна $4$.
Конечно, данный метод подбора малоэффективен в общем случае, когда корни не являются целыми числами, но для целочисленных корней метод довольно-таки неплох.
Иные приложения к бухгалтерскому балансу и отчету о прибылях и убытках (далее - пояснения) оформляются в произвольном виде (в табличной и (или) текстовой форме).
Минфином предложен пример заполнения пояснений в табличном виде (содержание его во многом повторяет ныне неиспользуемое Приложение № 5), в электронной отчетности СБиС++ "Тензор" - это форма Пояснения к бухгалтерскому балансу и отчету о прибылях и убытках. Также к бухгалтерской отчетности может быть приложено аудиторское заключение и заявление ревизионного союза сельскохозяйственных производителей.
Следует отметить, что изменился и порядок представления пояснений: теперь пояснительные документы отправляются одним отправлением вместе с бухгалтерской отчетностью. Причем их формат строго ограничен :
Внимание! Приложения и пояснительные документы к бухгалтерскому балансу и отчету о прибылях и убытках предусмотрены только для годовой отчетности .
Важно! В соответствии с Приказом ФНС РФ от 19.12.2011 N ММВ-7-6/942@ к Бухгалтерской отчетности можно приложить только одну(!) пояснительную записку, одно(!) аудиторское заключение и одно(!) заявления ревизионного союза сельскохозяйственных производителей.
Если Ваша организация является субъектом малого предпринимательства, и Вы формируете бухгалтерскую отчетность по упрощенной схеме (другими словами не сдаете «Отчет об изменениях капитала», «Отчет о движении денежных средств» и «Отчет о целевом использовании полученных средств»), то внутри формы установите флаг «Организация не заполняет формы 3, 4, 6»
Рассмотрим, как в программе СБиС отправить бухгалтерскую отчетность за 2012 год, а также пояснительную записку и заключение аудитора
Внимание! После того, как отчет будет готов, вы можете открыть его в формате excel-таблицы, а также word- или pdf-документа.
В своем письме от 15 июня 2012 года N ЕД-4-3/9882@ ФНС сообщает, что новая форма налоговой декларации применяется, начиная с представления налоговой декларации по налогу на прибыль организаций за девять месяцев 2012 года, а налогоплательщиками, исчисляющими ежемесячные авансовые платежи исходя из фактически полученной прибыли, - начиная с представления налоговой декларации за семь месяцев 2012 года.
Приказ содержит общие требования, порядок заполнения формы и приложения со справочной информацией и ряд изменений, отвечающих нормам налогового законодательства, вступивших в силу с 1 января 2012 года.
Нововведения коснулись, особенностей отражения информации резидентами ОЭЗ, консолидированными группами налогоплательщиков, налоговыми агентами,
Декларация пополнилась двумя Приложениями 6 и 6а к Листу 02. в которых содержатся расчеты авансовых платежей по налогу, уплачиваемых в бюджет субъектов РФ. Внесены изменения в формат представления данных по внереализационным расходам в части корректировки расчета налога исходя из рыночных цен (добавлена строка 107 в Приложение 1 к Листу 02 "Доходы от реализации и внереализационные доходы" ). Ряд других изменений носит чисто технический характер.
Рассмотрим на примере порядок заполнения новой формы налоговой декларации по налогу на прибыль за 9 месяцев 2012 года.
1.1. Сведения об организации-налогоплательщике.
Настоящий комментарий не носит официального характера и может утратить актуальность в связи с изменением законодательства.
Права на использование данного авторского материала принадлежат ЗАО "Информационная компания "Кодекс". Без согласия автора или ЗАО "Информационная компания "Кодекс" допускаются установленные частью IV Гражданского кодекса Российской Федерации правомерные способы использования данного материала.
Опубликование данного материала, а также изменение и (или) иная переработка его с целью опубликования осуществляется только с разрешения автора или обладателя права на использование данного материала - ЗАО "Информационная компания "Кодекс".
Доступ к полной версии этого документа ограниченОзнакомиться с документом вы можете, заказав бесплатную демонстрацию систем «Кодекс» и «Техэксперт» или купите этот документ прямо сейчас всего за 49 руб.
Купить документ Всего за 49 руб.
Идет завершение процесса оплаты.
Полный текст документа будет доступен вам, как только оплата будет подтверждена.
После подтверждения оплаты, страница будет автоматически обновлена. обычно это занимает не более нескольких минут.
Приносим извинения за вынужденное неудобство.
Если денежные средства были списаны, но текст оплаченного документа предоставлен не был, обратитесь к нам за помощью: payments@kodeks.ru
Если процедура оплаты на сайте платежной системы не была завершена, денежные
средства с вашего счета списаны НЕ будут и подтверждения оплаты мы не получим.
В этом случае вы можете повторить покупку документа с помощью кнопки справа.
всего за 49 руб.
Платеж не был завершен из-за технической ошибки, денежные средства с вашего счета
списаны не были. Попробуйте подождать несколько минут и повторить платеж еще раз.
Если ошибка повторяется, напишите нам на spp@cntd.ru. мы разберемся.
Пример заполнения декларации по налогу на прибыль за 9 месяцев 2012 года с пояснениями и расчетами
Настоящий комментарий не носит официального характера и может утратить актуальность в связи с изменением законодательства.
Права на использование данного авторского материала принадлежат ЗАО "Информационная компания "Кодекс". Без согласия автора или ЗАО "Информационная компания "Кодекс" допускаются установленные частью IV Гражданского кодекса Российской Федерации правомерные способы использования данного материала.
Опубликование данного материала, а также изменение и (или) иная переработка его с целью опубликования осуществляется только с разрешения автора или обладателя права на использование данного материала - ЗАО "Информационная компания "Кодекс".
Этот документ входит в профессиональные справочные системы «Кодекс»
Все права на материалы сайта docs.cntd.ru принадлежат ЗАО «Кодекс»,
воспроизведение (целиком или частями) материалов может производиться только по письменному разрешению правообладателя
Версия сайта: 2.2.7
Каждому техническому специалисту: строителю, проектировщику, энергетику, специалисту в области охраны труда.
Образцы оформления заданий на уроках математики
В ходе работы на уроках математики возникают частные вопросы оформления отдельных заданий: решения задач, нахождения значения числовых выражений, уравнений, неравенств, выполнения геометрических заданий.
Рассмотрим примерные рекомендации по оформлению отдельных заданий младшими школьниками в тетрадях по математике.
Во-первых, необходимо научить младших школьников легко определять количество строк, которые следует пропускать.
Между работами — 4 клетки, внутри работы между заданиями — 2 клетки, внутри заданий между действиями — 1 клетку (образец 1). 
Требования к написанию цифр как в однозначных числах, так и в многозначных предъявляются единые. Каждая цифра пишется с наклоном в отдельной клетке, прислоняясь к её правой стороне. Особенно это требование актуально при выполнении действий с многозначными числами. Образцы написания цифр представлены в учебном наглядном пособии «Демонстрационный набор письменных цифр и математических знаков».
Во II классе учащимся удобнее все буквы в тетрадях по математике писать высотой в целую клетку (аналогично письму на уроках языка). В III и IV классах высота букв при повышении скорости письма может уменьшаться до 2/3 высоты клетки.
После даты, слов Домашняя работа, Классная работа. Задача точка не ставится. Слова Примеры, Уравнения, Неравенств, Математический диктант, Контрольный устный счёт в начальных классах не пишутся.
Как ученику II класса (именно в этом возрасте они начинают записывать дату выполнения работы) научиться определять место начала записи Даты? Например, можно договориться отсчитывать от начала страницы (или от полей) 10 полных клеток, а в 11-й начинать запись даты, тогда будет достигнуто единство оформления письменных записей и ученику легко будет расположить дату посередине страницы.
Оформление математических диктантов может быть выполнено разными способами. Учащиеся I класса пишут под диктовку числа, учатся писать математические диктанты, записывая результаты в строку через запятую. Начиная со II класса результаты диктанта можно оформлять в строку или в столбики. Учащиеся должны быть научены фиксировать ответы по-разному. Перед математическим диктантом учитель оговаривает с учащимися способ записи ответов. При записи результатов математического диктанта в строку учащиеся пишут каждый последующий результат через запятую. В случае отсутствия ответа
на месте его ученик ставит прочерк. В противном случае проверка результатов выполненного диктанта вызовет затруднения, как у учителя, так и учащихся (при самопроверке и при взаимопроверке). (Образец 2.)
Запись результатов математического диктанта может быть выполнена в столбики. Для этого перед началом диктанта учитель сообщает классу количество заданий предстоящего диктанта (10 или 12). Учащиеся до диктанта записывают половину порядковых номеров ответов (5 или 6) в первый столбик, а вторую половину — во второй, отступив вправо от записанных номеров заданий первого столбика оговоренное количество клеток, например 10. Порядковые номера заданий записываются с круглой скобкой.
В ходе выполнения математического диктанта учащиеся записывают ответ рядом с порядковым номером. Ответы, в которых учащийся сомневается, могут быть им пропущены. Заполнение их возможно и при самопроверке. Перед тем как отдать работу на проверку учителю или однокласснику, ученик должен рядом с номерами невыполненных заданий поставить прочерк. (Образец 3.)
В IV классе при изучении нумерации многозначных чисел фиксация результатов математического диктанта может производиться в один столбик. (Образец 4.)
В оформление задачи входит слово Задача, запись решения и ответа.
Слово Задача записывается с большой буквы посередине строки. Ориентировочно необходимо отступить от левого края страницы 10 клеток. Если запись слова Задача располагается на той же странице, что и дата, то учащимся удобно провести по воздуху линию от первой цифры даты вниз, так как первая буква слова будет расположена под первой цифрой даты. (См. образец 1.)
В I классе решение задачи записывается в виде числового выражения. Значение числового выражения (ответ задачи) подчёркивается. Полный ответ задачи проговаривается устно. (Образец 5.)
Со II класса пишутся слова Задача и Ответ. Второклассники учатся оформлять запись решения составной задачи. При записи решения задачи по действиям каждое действие пишется с новой строки. В начале строки ставится порядковый номер действия с круглой скобкой, отступается одна клетка и записывается действие. (Образец 6.)
Запись решения задачи может быть оформлена выражением. В этом случае порядковый номер в начале строки не ставится. (Образец 7.)
В III и IV классах решение может быть оформлено по действиям без пояснений, с полными или краткими пояснениями, с вопросами, с планом, а также выражением. Если решение задачи записывается выражением, то нет необходимости делать пояснения после действия. Результат поясняется только в ответе.
Решение задачи по действиям с краткими пояснениями
оформляется следующим образом. Пояснения к каждому из действий формулируются кратко (словосочетанием). Сразу после наименования ставится тире, и с маленькой буквы записывается пояснение, в котором заключается основной смысл ответа на поставленный вопрос. (Образец 8.)
Решение задачи по действиям с полными пояснениями оформляется следующим образом. (Образец 9.)
Решение задачи с вопросами предполагает постановку" вопросов к каждому из действий. Вопрос записывается с большой буквы с начала строки. После него ставится вопросительный знак, а затем с новой строки записывается действие. Порядковый номер действия в этом случае ставится один раз перед вопросом. (Образец 10.)
Решение этой же задачи можно оформить с планом. (Образец 11.)
При необходимости выполнить письменные вычисления решение задачи записывается сразу в столбик. (Образец 12.)
Если решение задачи записывается выражением, при этом необходимо произвести письменные вычисления, они располагаются под выражением. (Образец 13.)
Наименование пишется после каждого действия задачи или после выражения в скобках с маленькой буквы. В записи наименования допускаются сокращения (обязательно должно заканчиваться на согласный). После сокращения ставится точка, в случаях, если это сокращение не является общепринятым. Точка не ставится в наименованиях, обозначающих единицы измерения длины: мм, см,дм, м, км, единицы измерения веса: г,кг, т, ц, единицы измерения времени: суг,ч, мин, с.
Слово Ответ записывается с начала строки, после него ставится двоеточие. После двоеточия на первом месте желательно записать число (результат решения задачи), а после него с_ маленькой буквы пояснение к нему. Ответ задачи может записываться как целыми словами, так и с использованием общепринятых сокращений (километров — км, метров — м, километров в час — км/ч и т. п.). Ответ записывается к каждой задаче.
В случае если задача решается несколькими способами, делается пометка «1 способ, 2 способ» и ответ записывается один раз. Если решение задачи записано по действиям, а затем выражением, то ответ тоже записывается один раз. Если решение задачи выполнялось с полным пояснением, с записью вопросов по действиям, ответ может быть записан кратко. При этом записывается числовое значение и наименование либо число и словосочетание, отражающие ответ задачи. (См. образцы 9, 10, 11.) Если решение задачи записано выражением, по действиям с краткими пояснениями или без них, то ответ задачи должен быть полным (в виде числа и предложения). (См. образцы 6, 7, 8, 12, 13.)
К задаче может быть выполнена краткая запись. Она записывается после слова Задача. Между строками пропускается одна клетка. Буквы и цифры пишутся в соответствии с рассмотренными выше требованиями.
Запись нахождения значения математического выражения также оформляется единообразно. Если математическое выражение состоит из одного действия, которое решается устно, ученик записывает его в строку и рядом — его ответ. При записи нескольких таких выражений между столбиками рекомендуется пропускать в сторону 3 клетки, а вниз между столбиками — 2. (Образец 14.)
Если математическое выражение состоит из одного действия, и для его решения требуются письменные вычисления, то оно сразу записывается в столбик и вычисляется. В строке можно разместить несколько математических выражений с письменными вычислениями при условии, что вправо между ними необходимо пропускать не менее 3 клеток. (Образец 15.)
При письменном умножении на трёхзначное число следует рекомендовать учащимся размещать на одной строке только 2 примера, так как при записи происходит значительный сдвиг влево. При необходимости на строке размешается математическое выражение, а рядом проверка вычислений. (Образец 16.)
Учащийся вправе сам принять решение о рациональном размещении на странице выполненных заданий. К примеру, если необходимо выполнить несколько примеров на деление многозначных чисел и сделать к ним проверку, на одной строке можно разместить примеры на деление, а под ними проверку. В таких случаях рекомендуется отступать вниз 2 клетки. (Образец 17.)
Если математическое выражение состоит из нескольких действий, решение которых предполагает устные вычисления, то учащийся сначала определяет порядок действий (его можно надписать над выражением), затем производит устные вычисления и записывает ответ. Выполнять запись устных действий не нужно. (Образец 18.)
Если математическое выражение состоит из нескольких действий, решение которых предполагает письменные вычисления, то сначала оно записывается в строку. Определяется порядок выполнения действий. Затем каждое действие записывается под выражением и выполняется. Полученный конечный результат записывается в первоначальную запись после знака «равно». (Образец 19.)
Решение простейшего уравнения записывается в столбик: само уравнение, способ нахождения неизвестного, результат вычисления (значение неизвестного), проверка решения уравнения. Можно расположить решение двух уравнений в 2 столбика. При этом между уравнениями в сторону необходимо отступить 3 клетки. Слова Решение
и Проверка, которые используются в
образце оформления уравнения на страницах учебника, в тетрадях учащимися не записываются. (Образец 20.)
Решение уравнений в два действия также записывается в столбик. Расположение двух таких уравнений также допустимо на одной строке при условии, что их решение не требует письменных вычислений. (Образец 21.)
Если при решении уравнения необходимо выполнять письменные действия с многозначными числами, их следует располагать справа от записи решения уравнения. (Образец 22.)
Сравнение чисел, выражений, величин. При сравнении двух чисел они записываются на строке с интервалом в одну клетку. В ней учащийся ставит знак. (Образец 23.)
При сравнении многозначных чисел учащийся производит сравнение поразрядно. Достаточно обратить внимание на различающиеся цифры в разрядах, начиная с высшего, подчеркнуть их. Во второй строке можно записать только те цифры, которыми различаются числа. Это будет основанием для сравнения чисел. (Образец 24.)
Если число необходимо сравнить с выражением, то в записи между ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значения выражения и сопоставления его с числом. (Образец 25.)
Если необходимо сравнить два выражения, то в записи между ними также оставляется клетка. Знак может быть вставлен только после нахождения значений обоих выражений. Найденные значения выражений целесообразно записать на следующей строке и после их сопоставления поставить знак сравнения между ними, а затем и на верхней строке в исходном выражении. (Образец 26.)
При сравнении величин обращается внимание на единицы их измерения. Если величины выражены в одинаковых единицах измерения, то сравнение производится так же, как и сравнение чисел. Знак ставится между величинами после установления их равенства или неравенства. (Образец 27.)
Если сравниваются величины, выраженные в разных единицах измерения, необходимо оценить возможность их сравнения без приведения их к единым единицам измерения; если это возможно, поставить требующийся знак. (Образец 28.)
При сравнении величин, выраженных в разных единицах измерения, чаще всего обязательным условием является приведение их к одинаковым единицам (меньшим или большим). Запись лучше зафиксировать на следующей строке. После сопоставления преобразованных величин можно поставить знак равенства или неравенства и затем перенести его в исходное выражение. (Образец 29.)
Задания геометрического характера могут включать только вычерчивание геометрических фигур, только нахождение параметров геометрических фигур, либо задание на нахождение параметров и вычерчивание фигур.
Если задание предполагает только вычерчивание фигуры (фигур), от предыдущего задания отступают две клетки и чертят заданную геометрическую фигуру.
Если задание предполагает только нахождение параметров геометрической фигуры, то ученик должен оформить выполнение задания как решение задачи: слово Задача, решение (нахождение параметров геометрической фигуры), ответ. Если в задаче не требуется вычерчивание фигуры, этого и не нужно делать. (Образец 30.)
Если задание предполагает нахождение параметров и вычерчивание фигуры, то оформляется это тоже как задача. Ученик должен привыкнуть к тому, что любые вычисления (даже устные) при нахождении параметров должны быть зафиксированы письменно. Сначала проводятся вычисления, затем вычерчивается фигура с полученными данными. (Образец 31.)
В задании может быть задана длина первого отрезка. Второй и третий отрезки необходимо найти, а затем начертить. В таком случае ребёнку удобно начертить данный отрезок, вычислить размер второго отрезка (с записью действия), начертить полученный отрезок, затем найти длину третьего отрезка (с записью действия) и тогда его начертить. (Образец 32.)
Это же задание учащийся может оформить иначе. (Образец 33.)
Если к заданию было записано слово Задача, значит, к нему предполагается и Ответ.
Если необходимо произвести сравнение отрезков, значит, за писывается слово Задача, после вычерчивания отрезков записывается математическое действие, с помощью которого производилось сравнение (вычитание, деление). Завершается выполнение задания записью ответа.
Чертим отрезки, отступая от левого края страницы 1 полную клетку.
Все отрезки необходимо чертить друг под другом, при этом их начальные точки должны находиться на одном расстоянии от левого края страницы.
Пропуски между отрезками вниз составляют 1 клетку.
Края отрезков отмечаются небольшими штрихами.
Нахождение значения выражения с переменной записывается следующим образом. (Образец 34.)
Требования к оформлению контрольных работ. Оформление их производится так же, как и классных работ. Исправления делаются в случае необходимости аккуратно. Краткая запись к задаче, вопросы, пояснения, которые помогают при обучении решению задач, в контрольной работе не требуются, так как их использование часто влечёт множество орфографических ошибок, не отражающих реальные математические знания детей. Формулировки заданий контрольной работы учащимися не переписываются в тетрадь. Ставится лишь порядковый номер выполняемого задания.
Порядок выполнения заданий контрольной работы учащийся может выбрать сам. Записывая решения заданий, он должен ставить тот 
порядковый номер задания, под которым оно стоит в контрольной работе. (Образец 36.)
Хочется отметить, что далеко не все частные случаи оформления записей по математике удалось осветить в статье. Кроме того, прописанные в данной статье рекомендации являются примерными. Если учителем, методическим объединением учителей наработаны более рациональные приёмы обучения учащихся оформлению записей в тетрадях по математике без нарушения общепринятых норм, они имеют право внедрять их в свою деятельность. Важным остаётся требование единообразия оформления записей всеми учащимися.
Работа по формированию у младших школьников культуры оформления записей в тетрадях по математике кропотливая, требует терпения. Однако необходимо помнить, что эти условности, используемые школьниками, не отражают математической подготовки учащихся, поэтому не следует строго наказывать учащихся за то, что кто-то из них пропустил не 10, а 11 клеток при записи даты или допустил и прочие отклонения. Важно, чтобы записи были рациональными, единообразными, экономичными, лаконичными и при этом эстетично оформленными.
Н. Л. Ковалевская, учитель высшей категории, методист высшей категории,
г. Минск//Пачатковае навучанне: сям’я, дзіцячы сад, школа, 2012 г. № 10, стр. 5-12
